Zamanın Süperpozisyonunun Olasılıkçı Deterministik Formülasyonu

Bir önceki kısa makalemizde; zamanın süperpozisyonu teorimizin, Feynman'nın yol integrali teorisiyle matematiksel olarak konumunu göstermeye çalışmıştık. Zamanın süperpozisyonu; büyük üstat Yılmaz Öner'in tarihin en heyecan verici bilimsel teorilerinden birisi olan olasılıkçı deterministik (prodetermizm) teorisinin, bizim geliştirdiğimiz bir yorumuydu. Bu büyük düşünürün gerçeklik ve zamanın doğasına yönelik derin sezgileri, bizim için bir ilham kaynağı oldu ve olmaya devam ediyor.

Bu büyük düşünüre göre madde; bir olanaklar deposu olarak tanımlanmıştı. İnsanlar tarih boyunca, gerçekliğin hep bir yönünü izliyor ve hep onu deneyimleyip ölçüyordu. Ancak, gerçekliğin maddenin içsel doğasındaki bir yönü daha vardı ki bu; virtüel gerçeklik dediğimiz, aktüel her anı bir 'zaman enlemi' şeklinde bölen alternatif enerji olanaklarıydı. Bu büyük düşünür pozitivist ontolojinin sınırlarına meydan okuyor; makro ve mikro alem arasında, bütün insanlığın aradığı bir köprü inşa ediyordu. İşte onun 'zaman enlemi' kavramı şimdi; bizim teorimizi yol integrali ile gösterirken bahsettiğimiz temel spekülatif bir problemi giderip, açıklığa kavuşturmamız için ilham kaynağı olacak.

Zamanın süperpozisyonu teorimizde artık; zaman da, uzay gibi bir koordinattı. Ancak, bu koordinatı ilerletecek bir parametreye ihtiyacımız vardı. Biz bunu, 'ʊ' olarak tanımlamıştık. Ancak buradaki, '(x(ʊ),t(ʊ))' parametresinin ne olduğu spekülatif bir konuydu. Yani, fiziksel bir gerçekliği yok gibiydi. İşte burada; Yılmaz Öner'in olasılıkçı determinizm teorisindeki 'zaman enlemi' kavramıyla, artık aksiyonumuzu fiziksel bir gerçekliğe kavuşturup, matematiksel bir şekilde gösterebileceğiz. Zamanın virtüel boyutu olarak, dışsal zamandan (t) bağımsız maddenin içsel bir koordinatı (zaman enlemi) vardır ki; işte bunu 'ⱡ' olarak sembolize edeceğiz. Yani artık parçacığın durumu; x(t) (konumun zamana göre değişimi) ve ⱡ(t) (içsel zamanın dışsal zamana göre değişimi) olarak tanımlanacak. Yani artık aksiyon şu şekilde olacaktır:

Prodeterministik Aksiyon: S[x(t) , ⱡ(t)]

Artık, '(x(ʊ),t(ʊ))' gibi bir parametreye ihtiyacımız yok. Parametremiz artık, bildiğimiz duvardaki saatin ölçtüğü aktüel (t) zamanı. Yol integralimiz artık, virtüel zaman (ⱡ) üzerinden ilerleyecektir. Şimdi zaman enlemi için, aksiyonumuzu nasıl inşa edebileceğimizi gösterelim.

Fizikte aksiyon (S); Lagranjiyen'in (L), zamana (parametreye) göre integrali alınarak bulunur. L; sistemin kinetik enerjisi (T) ile potansiyel enerjisi (V) arasındaki farktır. Yani, L = T - V şeklindedir. Şimdi bulmamız gereken, teorimizdeki T ile V'nin neyi ifade ettiğidir.

Önce, hareketin enerjisi olan kinetik enerjiyi göstermeye çalışalım. Bizim teorimizde iki çeşit hareket vardır. Birincisi; hız: i = dx/dt şeklindeki dışsal harekettir. İkincisi; hız: i = dⱡ/dt şeklindeki, zaman enlemi içerisinde teorimizin imzası olan içsel harekettir. Yani teorimizde hareket artık, şu şekilde gösterilir: T = T_uzay +  T_zamanenlemi

Sistemdeki kinetik enerjiyi standart formülasyon içerisinde artık, şu şekilde gösterebiliriz:

T = 1/2mi² + 1/2ki²

Burada; '1/2mi²' standart kinetik enerjiyi, '1/2ki²' ise zaman enlemi içerisinde haraket etmenin kinetik enerjisini ifade eder. Buradaki 'k', olasılıkçı determinizm teorisinin öngördüğü yeni bir doğa sabitidir. 'k', zaman enlemindeki eylemsizliği temsil eder.

Şimdi, sistemimizdeki potansiyel enerjiyi tanımlamaya çalışalım. Potansiyel, bir sistemin tercihlerini temsil eder ve sistem her zaman bunu minimize etmeye çalışır. Sistemimize artık standart potansiyelin yanında; aktüelleşme potansiyeli ve uzay - zaman etkileşim potansiyelini de ekliyoruz. Olasılıkçı deterministik potansiyel enerji, artık şu şekilde gösterilecektir: V = V_uzay + V_{aktüelleşme} + V_etkileşim

V_uzay yani V(x); standart uzay potansiyelidir. Parçacığı uzayda bir yere çeken şey olarak tanımlanır.

V_{aktüelleşme}; teorimizin ana dokunuşunu yaptığı alanlardan birisidir. Maddenin 'içsel zamanının' (ⱡ), 'dışsal zamana' (t) bağlanmasını sağlayan değerdir. Zamanın bir yayını temsil eder. Maddenin içsel doğasındaki virtüel enerji alternatiflerinden birisinin, aktüel hale gelmesini işaret eder. Aktüelleşme potansiyelini şu şekilde formüle ediyoruz:

V(ⱡ,t) = 1/2α (ⱡ - t)²

Buradaki 'α', teorimizdeki yeni bir doğa sabitidir. Peki bu matematiksel ifade neyi söylemeye çalışıyor? Bu formül; maddenin içsel zamanının yani ⱡ'nin, dışsal zamandan yani t'den uzaklaşmasına kesilen cezayı temsil etmektedir. Yani sistem, 'ⱡ = t' durumunda en düşük enerji durumundadır. Yani madde, bu duruma tutuklanmaya çalışmaktadır. Yani; 'ⱡ = t' durumu, şimdiki anı temsil etmektedir. Ancak parçacık bu potansiyel etrafında süperpozisyondadır. Yani, 'ⱡ ≠ t' durumunda olma potansiyeli her zaman vardır. İşte bu, zamanın süperpozisyonunu ifade eder.

V_etkileşim; teorimizin bir başka yönünü yansıtır. Bu, uzay - virtüel zaman arasındaki etkileşimdir. Bunu, V(x,ⱡ) şeklinde ifade ediyoruz. Yani bu ifade; parçacığın uzaydaki konumuyla, içsel zaman enlemi arasındaki ilişkiyi temsil eder. İşte bu sembolizasyon, yeni bir fizik etkileşiminin kapısını da açmaktadır.

O halde artık ifadelerimizi gösterdikten sonra, bunları standart Lagranjiyen ifadesinde yerine koyarak; nihai aksiyon formülümüzü yazalım:

S[x,ⱡ] = ∫_ti^tf [( 1/2mi² + 1/2ki²) - (V(x) + 1/2α (ⱡ - t)² + V(x,ⱡ))] dt

Böylece artık, zamanın süperpozisyonunu yol integrali ile formüle ettiğimiz makalemizdeki 'S' aksiyonu üzerindeki belirsizliği gidererek; onu fiziksel bir gerçeklikle tanımlamış oluyoruz. Böylece aksiyon 'S', somut test edilebilir bir fiziksel model olmaktadır. Aksiyon (S); yol integrali aracılığıyla gösterdiğimiz zamanın süperpozisyonundaki sembolizasyonumuzda yerine koyulduğunda, nihai formül ortaya çıkacaktır (yani; e^iS/h yerine koyulduğunda). Ancak burada, varlık üzerinde 'V(x,ⱡ)' şeklinde yeni bir etkileşim alanı da tanımlamış olduk. Kuramsal teorimizdeki çalışmalarımıza devam edip; bu alanı da, daha somut bir şekilde göstermeye çalışacağız.

Ancak şimdi; kuramsal teorimizde zamanın süperpozisyonunun Feynman'ın yol integrali aracılığıyla gösterdiğimiz sembolizasyonumuzda, ufak bir revizyon yapmamız gerekiyor.

Zamanın süperpozisyonu teorisine; üstat Yılmaz Öner'in 'zaman enlemi' kavramını kattığımızda, teorimiz kuramsal yapısına da kavuşmuş oluyor. Biz ilk makalemizde dalga fonsiyonumuzu; ₭(x,t) şeklinde tanımlamıştık. Zaman enlemi ile beraber artık dalga fonksiyonumuzun; ₭(x,ⱡ,t) şeklinde ifade edilmesi gerektiği görülecektir. Çünkü artık işin içerisinde, maddenin içsel doğasındaki 'virtüel zaman' kavramı da vardır. Ve madde, bu genlik alanını da kapsar.

Artık dışsal zaman 't₀' anında, parçacığın 'x₀' konumuda ve 'ⱡ₀' potansiyelinde bulunma olasılığı: | ₭(x₀ ,  t₀ , ⱡ₀) |² şeklinde ifade edilecektir.

Artık parçacık herhangi bir (t) anında; zaman enleminde tek bir (ⱡ) değeri olmak zorunda değildir. Parçacık konumda olduğu gibi, (ⱡ₁, ⱡ₂, ⱡ₃,...) gibi olası tüm içsel zaman alternatiflerinde de süperpozisyondadır. İşte bu; mevcut bilimsel paradigmanın seyrini değiştirecek olan, zamanın süperpozisyonu teorimizdir.

Parçacık zamanın süperpozisyonunda, standart Feynman'nın yol integralini genişlettiğimiz halinde; (x_i , ⱡ_i) başlangıç noktasından, (x_f , ⱡ_f) nihai konumuna gitmek için; tüm olası konum yollarını 'x(t)' ve virtüel zaman alternatiflerini ⱡ(t) dener. O halde artık parçacığın (x_i , ⱡ_i) durumundan, (x_f , ⱡ_f) durumuna; t_i → t_f aktüel zaman aralığında gitme genliği; yani zamanın süperpozisyonunun nihai formülü şu şekilde ortaya çıkmaktadır:

₭(x,ⱡ,t) = ₭ (x_f, ⱡ_f, t_f ; x_i, ⱡ_i , t_i) = ∫ D[x(t)] ∫ D[ⱡ(t)] e^{iS[x(t),ⱡ(t)]/h}

₭; dalga fonksiyonunu ifade eder. Parçacığın bir durumdan diğerine gitme olasılık genliğidir.

∫ D[x(t)] ifadesi; konum integralidir. Parçacığın gidebileceği tüm olası konumları ifade eden, standart Feynman yol integralidir.

∫ D[ⱡ(t)] ifadesi; zaman enlemi integralidir. Teorimizin matematiksel gövdesi olan; parçacığın deneyimleyebileceği tüm olası içsel zaman alternatiflerini temsil eder. Zamanın süperpozisyonu içerisinde, parçacığın geçmiş ve gelecekteki tüm olası yollarını kapsar.

S[x(t) , ⱡ(t)] ifadesi; bu makalede ilk kez gösterdiğimiz aksiyondur. Doğanın dinamik yapısının tam karşılığıdır. Belirli bir x(t) konum yolu ve ⱡ(t) zaman yolunun maliyetini belirler.

Burada tanımladığımız zamanın süperpozisyonunun genişletilmiş nihai aksiyonu, nihai dalga fonksiyonu formülünde yerine yerleştirildiğinde; nihai sembolizasyonumuzun tam görüntüsü ortaya çıkar. İşte bu; eşi ve benzeri olmayan, mikro-makro alem arasında bir köprü kuran, tarihin en derin ve sezgisel teorilerinden birisi olan; zamanın süperpozisyonu teorimizin nihai fiziksel ve matematiksel görüntüsüdür.

Bir kez daha değinmek istiyorum ki; zamanın süperpozisyonu teorimiz, zamanın en büyük düşünür ve bilim adamlarından birisi olan; fizik alanında Einstein, Schrödinger kalibresinde bir fizikçi olan üstat Yılmaz Öner'in olasılıkçı determinizm teorisinden esin kaynağı alarak geliştirdiğimiz bir teoridir.* Onun düşünceleri ve gerçeklik kavrayışı, geleceğin bilimsel düşüncesine damga vuracak ve  hep bize ilham kaynağı olmaya devam edecektir.

* Yılmaz Öner'in Prodeterminizm teorisi için detaylı bilgi isteyenler; bu blogta yazdığım, bu teori ile ilgili açıklayıcı kısa makalelerime bakabilirler.

Zamanın Süperpozisyonu ve Feynman'ın Yol İntegrali ile Sembolizasyonu

 

Richard Feynman

Schrödinger'in süperpozisyon kuramında bir parçacığın; gözlem yapılmadan önce, bir çok farklı konum ve enerji değerinde aynı anda varolduğunu söylemiştik. Hemen belirtelim ki bu değerler; bir potansiyel gerçeklik olarak, bizim yorumumuza göre o anda virtüel yani sanal olarak varolur. İşte burada parçacık süperpozisyondadır. Ancak bu, bizce eksik bir değerlendirmedir. Parçacık gözlemlenmediği durumda; konumda süperpozisyonda olduğu gibi, zamanda da süperpozisyondadır. Yani maddenin gelecekteki tüm potansiyel formları; maddenin süperpozisyondaki o an içindeki durumunda, alternatif bir gerçeklik olarak bulunur. Yani madde, konumda olduğu gibi zamanda da süperpozisyondadır. İşte biz bunu daha önceki yazılarımızda, zamanın virtüel boyutu olarak adlandırmıştık. Zamanın virtüel boyutu; Yılmaz Öner'in prodeterminizm kuramında ortaya çıkan bir gerçeklik alanıydı. Bu büyük düşünür, doğrudan bahsetmese de zamanın süperpozisyonu fikrine kapı aralıyordu. Bu kapıyı açıp içeri girmek de bize kaldı.*

Burada zamanın süperpozisyonu düşüncesini, Feynman'ın yol integralini kullanarak sembolize etmeye çalışacağız. Peki neden bu teoremi kullanıyoruz?

Feynman'ın yol integrali teorisi; bir parçacığın A'dan B noktasına gitme olasılığını hesaplamak için kullanılır. Burda tek yol değil, potansiyel tüm yollara bakılır. Ferynman'a göre parçacık A'dan B'ye; mümkün olan her yoldan giderek, yani onları deneyimleyerek varmıştır. Yani bu; her olası zamanın, aslında bir tür gerçekliğe sahip olduğunu varsayar. Parçacık A'dan B'ye; mümkün olan her yolu deneyimleyerek gitmiştir. Aslında Feynman'ın yol integrali teorisi de zamanın süperpozisyonu düşüncesine kapı aralar.

Bu teori aynı zamanda; parçacığın hedefe ulaşabilmesi için mümkün olan tüm yolları deneyimlediğini de hesaba katar. Parçacık hedefine birden değil, adım adım ilerleyerek ulaşır. Schrödinger'in dalga fonksiyonunun aksine; madde ölçülmese de bütün olası durumlar, o maddenin içsel yapısında bulunur.

Biz de buradaki A'dan B noktasına giden yolu; zaman noktaları arasındaki hareket olarak değerlendirip sembolize etmeye çalışacağız. Feynman'ın yol integrali şöyle formüle edilir:

K⟨x_b,t_b;x_a,t_a​⟩ = ∫ D[x(t)]e^iS[x(t)]/h

Burada: ⟨x_b,t_b;x_a,t_a​⟩ ifadesi; parçacığın a konumundan ve zamanından, b konumuna ve zamanına geçişin tüm genlik alanıdır. Bu genliğin mutlak karesi, parçacığın bu geçişi yapma olasılığını verir. ∫D[x(t)] ifadesi; parçacığın a konumundan b konumuna gidebileceği tüm olası yolların integrasyonunu ifade eder. S[x(t)] ifadesi; belirli x(t) yolu için klasik eylemi ifade eder. h ifadesi; indirgenmiş planck sabitidir. i ifadesi sanal birimdir ve i = √-1'dir. e^iS[x(t)]/h ifadesi; her bir yola atanan faz faktörüdür.

Schrödinger dalga fonksiyonunda ve genel olarak kuantum teorisinde; zamanın bir operatör olmayıp, bir parametre olarak dikkate alındığını söylemiştik. Schrödinger dalga fonksiyonunda bir parçacığın t anında, x₀ konumunda bulunma olasılığı: P(x₀ , t) = Ψ|(x₀ , t)|² şeklinde ifade edilir

Bizim teorimizde, artık zaman da ölçülebilir bir özelliktir. Dalga fonksiyonu artık belirli bir t anındaki durumu ifade etmeyecektir. Artık parçacığın durumunu, bir uzay-zaman genliği olarak ifade etmeliyiz. Yani, yeni bir dalga fonksiyonu tanımlamalıyız. Artık yeni dalga fonksiyonumuzu; ₭(x,t) şeklinde gösterebiliriz. Bu fonksiyon, parçacığın uzay-zamanın kendisindeki (x,t) noktasında gerçekleşme genliğidir. Bu; artık bir an değil, olay niteliğindedir. Artık bu parçacığın P(x₀,t₀) noktasında bulunma olasılığı:

P(x₀,t₀) = |₭(x₀,t₀)|² şeklinde ifade edilir. 

Artık amacımız, ₭(x₀,t₀) fonksiyonunu nasıl gösterebileceğimizi bulmaktır. Bunun için Feynman'ın yol integrali fikrini; yolların sadece uzayda değil, hem uzayda hem de zamanda bükülebildiği bir duruma sürüklemeliyiz. Zaman artık başlı başına bir operatör olduğuna göre; yolu ilerleten zaman dışında bir parametreye ihtiyacımız var. Bu parametreyi 'ʊ' şeklinde ifade edelim. Artık yollarımız, (x(ʊ),t(ʊ)) şeklinde ifade edilir. Ayrıca, bir olaydan diğerine geçiş genliğini hesaplayan yeni bir propagatör tanımlamalıyız. O halde yeni propagatörümüz; G(x_b,t_b;x_a,t_a) şeklinde gösterilir. Bu yeni ifadeleri Feynman'ın yol integraline yerleştirirsek, sembolizasyonumuzun ilk görüntüsü şu şekilde olur:

G(x_b,t_b;x_a,t_a) = ∫ D[x(ʊ)]D[t(ʊ)]e^{iS[X(ʊ),t(ʊ)]/h}   (1)

Burada '∫ D[x(ʊ)]D[t(ʊ)]' ifadesi; hem uzay hem de zaman koordinatlarındaki tüm olası yollar üzerinden integral alınmasıdır. 'S[x(Ʊ),t(Ʊ)]' ifadesi; aksiyonun nasıl tanımlanacağıyla ilgilidir. Teorinin en belirsiz kısmını oluşturur. Çünkü bu, yolu ilerleten zaman dışındaki parametrenin nasıl tanımlanacağıyla ilgilidir. Bundan sonra, tüm parçaları birleştirerek sembolizasyonumuzu tamamlayabiliriz.

Parçacığın (x₀,t₀) uzay-zaman noktasındaki genliği, yani ₭(x,t) fonksiyonu; parçacığın başlayabileceği tüm uzay-zaman noktalarından yani (x_i,t_i)'den, o noktaya olan geçişlerinin toplamıdır. Bu başlangıç noktaları, parçacığın başlangıçtaki dalga fonksiyonu ile yani; ₭_i(x_i,t_i) şeklinde gösterilir. Şimdi formülümüzü tekrar yazalım:

₭(x₀,t₀) = ∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞ G(x₀,t₀;x_i,t_i) ₭_i(x_i,t_i) dx_i dt_i    (2)

(1) ve (2) deki formülasyonları birleştirirsek nihai formülü şu şekilde yazarız:

 ₭(x₀,t₀) = ∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞ D[x(ʊ)]D[t(ʊ)]e^{iS[X(ʊ),t(ʊ)]/h} ₭_i(x_i,t_i) dx_i dt_i

P(x₀,t₀) = |₭(x₀,t₀)|² olduğuna göre; nihai fonksiyonun mutlak değerinin karesi bize, bir parçacığın belirli bir (x₀,t₀) uzay zaman noktasında bulunma olasılığını; yani evrendeki tüm uzay-zaman noktalarından, zamandaki ileri ve gerideki pozisyonları da dahil olmak üzere mümkün tüm yolları izleyerek (x₀,t₀) noktasına ulaşma genliğini verecektir.

Burada zamanın süperpozisyonu teorisinin Feynman'ın yol integrali aracılığıyla sembolizasyonunu göstermeye çalıştık. Buradaki teorimin temelinde, başta söylediğim gibi Yılmaz Öner'in prodeterminizm teorisindeki varsayımları vardır. Bir önceki yazımızda; zamanın süperpozisyonu teorisiyle, zamanda yolculuk arasındaki ilişkiyi incelemiştik. Burada da, teorimizi matematiksel bir çerçeve içerisinde yorumladık.

* Yılmaz Öner'in Prodeterminizm teorisi için daha fazla bilgi isteyenler, onunla ilgili bu blogta yayımladığım makalelerime bakabilirler.